Sayısal Analiz Giriş

Öncelikle herkese tekrardan Merhaba! demek istiyorum. Uzun süredir yazı yazmak için vakit bulamıyordum. Pandemiden bu yana geçen süreyi her yazımın altında (C361) yazarken bir anda bu virüse yakalandım. Fakat artık döndüm, iyiyim. İlk baştaki gibi düzenli yazılar yazmaya devam edeceğim. Bu dönem aldığım derslerden biri olan sayısal analiz hakkında önce bir hem kısa giriş yapmak için hem de kendimle ilgili bu durumdan bahsetmek için bu yazıyı oluşturdum. Ve son olarak bana mailden ulaşanlara bir süre boyunca yazmaya, dönüş yapmaya çalıştım fakat karantina dönemimde dönüş yapamadığım için üzgünüm. Artık sorularınıza daha hızlı cevap vermeye çalışacağım. Daha fazla uzatmadan başlayalım. Tekrar Hoş Geldiniz! ❣

Evet, Algoritma kavramına hepimiz aşinayız. Ve biliyoruz ki algoritma birden çok tanıma sahip. Her ne kadar hepsi aynı durumu kastediyor olsa da 🙂 Burada kısaca bir tanım yapacak olursak; Hesap yönteminde sonucu bulmak için yapılacak gerekli işlemlerin adım adım sıralanması diyebiliriz.

Sayısal analizde kullanacağımız metotların çoğunda hesap yönteminin algoritmasını oluşturmak sonrasındaki MATLAB benzeri kodlama yaptığımız programlarda bize kolaylık sağlayacaktır. Her problemin çözümü aynı olmayacağı gibi her problemdeki algoritma da aynı değildir. Aynı zamanda her problemin birden fazla çözüm yolu olabilir. Bu durum algoritmalar için de geçerlidir.

Örneğin bir sorunun çözümünde üç adet algoritma bulduysak hangisini seçeceğiz?

Burada seçimimizde etkili olan en önemli 2 unsur

▶ Algoritmalar arasındaki hız

▶ Algoritma sonuçların doğruluğu, hassaslığı olacaktır.

Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz

▶ Bir mühendisin temel çalışma alanları fiziksel sistemlerdir. Bir problemin çözümü için problemin ait olduğu fiziksel olayın veya sistemin matematik modelini oluşturup çözmemiz gerekir. Ardından da sonuçları değerlendirerek yorumlamak gerekir.


▶ Bu tür bir yaklaşımla problemin çözümünde izlenecek başlıca adımlar aşağıdaki şekilde sıralanabilir:
1-) Problemin Tanımı
2-) Fiziksel Modelin Oluşturulması
3-) Matematik Modelin Oluşturulması
4-) Çözümün Varlığı ve Analizi
5-) Uygun bir Yöntemle Matematik Modelin Çözümü
6-) Hata Analizi

1-) Problemin Tanımı: Problemin ve ilgili sistemin her yönüyle ortaya konulduğu adımdır. Bu aşamada problemin anlaşılmasına katkı sağlayacak mevcut bütün bilgiler ve giriş verisi, çözüm sonucu ne istendiği açık olarak ortaya konur.

2-) Fiziksel Modelin Oluşturulması: Bu aşamada olayı basite indirgemek ve çözümünü kolaylaştırmak için bazı kabuller ve ihmaller yapılır.
Yapılacak kabul ve ihmallerin sonucu hiç etkilemeyecek veya çok az etkileyecek şekilde olması zorunludur. Bunun için temel mühendislik konularına ait bilgi ve deneyimin olması kolaylık sağlayacağı gibi hatası az, amaca uygun model oluşturulmasını da mümkün kılar.

3-) Matematik Modelin Oluşturulması: Fiziksel sistemin formülize edildiği bir başka ifadeyle fiziksel yasaların ve bağıntıların kullanıldığı aşamadır.
Yapılan kabullere bağlı olarak kullanılması gerek denklemler ile denklemlerin çözümü için gerekli sınır ve başlangıç şartları, varsa özel sınırlamalar ortaya konur. Matematik modelin oluşturulmasında kullanılacak bilgi yine mühendislik öğrenimi boyunca alınan temel bilgiye dayanır. Dolayısıyla bilgi ve deneyimin iyi olması kurulacak matematik modelin de o derece iyi olmasını sağlayacaktır.

4-) Çözümün Varlığı ve Analizi: Bilinmeyen ve çözümü istenen parametreleri elde etmek için gerekli denklemlerin olup olmadığı, bu denklemlerin çözülüp çözülemeyeceği incelenir.

5-) Uygun Bir Yöntemle Matematik Modelin Çözümü: Probleminin çözümü için oluşturulan matematik model belli sayıda denklem ve matematiksel ifade içerecektir. Bu denklemlerin Analitik Çözümü yani matematik derslerinden bilinen bilgilerle çözümü mümkün olabilir. Örneğin, karşılaşılacak ikinci derece bir polinomun köklerinin bulunması, bir diferansiyel denklemin çözümü veya bir fonksiyonun türevi veya integralinin alınması gibi işlemler Analitik Çözüme birer örnektir. Ancak bilindiği gibi her denklemin analitik çözümü mümkün değildir. Matematik modelin içerdiği denklemler her zaman analitik çözüme imkân verecek kadar basit olmaz.

Uygun Bir Yöntemle Matematik Modelin Çözümü

•Analitik çözüm bulunabilmesi için fiziksel modelin oluşturulmasında belki daha fazla basitleştirici kabuller yapılması gerekir. Ancak günümüzde bilim ve teknolojinin çok gelişmiş olması çok fazla kabul yapılmasını ve denklemlerin basitleştirilmesini sınırlandırmaktadır.
• Dolayısıyla incelenen kompleks bir sisteme ait matematik model çok sayıda denklem içerebilmekte, bu denklemler Nonlineer olabilmektedir.
• İki veya daha yüksek dereceden polinomlar veya trigonometrik, logaritmik, üstel gibi lineer olmayan terimler içeren denklemler lineer olmayan veya
nonlineer denklemlerdir.
• Örneğin lineer olmayan denklemlerdir. Bu tür bir denklem sistemini Analitik Yöntemlerle çözmek de çoğu zaman mümkün olmaz.
Sayısal Analiz yöntemleri bu aşamada devreye girer.

Matematiksel Modelleme Nedir?

Etrafımızdaki doğa olayları, birçok fiziksel teoremler, fiziksel yasalar, moleküller, hücreler yani aklınıza gelebilecek her şey matematiksel olarak modellenebilir. Dünyayı daha iyi bir seviyede anlamak ve sonrasında akla gelebilecek tüm teknik sorunlara çözüm bulabilmek için, her şeyi matematiksel terimlerle temsil etmeye Matematiksel Modelleme denir. Bu yüzden matematiksel modelleme eşittir hayatı modelleme diyebiliriz.

Matematiksel Modelleme
Matematiksel Modelleme

Bu yazımızda sayısal analize ufak çaplı bir giriş yaptım. Kesinlikle bilinmesi ve öğrenilmesi gerektiğini düşünüyorum. Dersi aldığım hocamın da belirttiği gibi sadece kodlama yaparak mühendis olunmuyor. Bir yazılım mühendisinin gerçek hayat problemlerine hazırlanması adına çok önemli bir konu olduğunu düşünüyorum. Sayısal Analiz Nedir? isimli yazımda ufak ufak başlamayı düşünüyorum. Orada görüşmek üzere 🙂

Herkese sağlıklı günler dilerim ☀