Newton Raphson Yöntemi

Herkese merhaba! Bugün sayısal analizdeki Newton Raphson Yöntemi konusunu işleyeceğiz. Açık yöntemlerden biri olan Newton Raphson Yöntemi, işlem adımları açısından sabit iterasyon yöntemine benzemektedir. Hadi gelin vakit kaybetmeden bu yöntemi işleyelim. Ardından bir Matlab uygulamasıyla pekiştirelim.


Newton Raphson Yöntemi Nedir?

İkinci açık yöntemimiz olan Newton Raphson Yöntemi yukarıda da belirttiğimiz gibi sabit iterasyon yöntemine benzemektedir. Farklı olan kısım ise çoğu yazıda da belirttiğimiz orta noktanın bulunma formülü. Newton Raphson Yönteminde fonksiyonun ( f(x) ) türevi de kullanılmaktadır. Yani Newton Raphson Yönteminde seçilen noktada teğetin eğiminden yararlanarak köke yakın bir başka noktanın bulunmasına dayanmaktadır. Şimdi şekil üzerinden az çok demek istediğimi anlayacaksınız. Eğer anlamazsanız da çok bir önemi yok formüle odaklanmayı deneyin 🙂

Newton Raphson Yöntemi Formülü
Newton Raphson Yöntemi Formülü

Genel ifade olarak belirtilen kısım bizim genel formülümüz diyebiliriz. Şimdi hem tekrar açısından hem de kafa karışıklıklarını önlemek adına yapacağımız tüm işlemleri sıralayalım.

  1. Bize verilen f(x) fonksiyonunun türevini alalım.
  2. Ardından iterasyona başlamak için tahmini bir başlangıç değeri (x0) alınır. Genel iterasyon denklemi kullanılarak yeni x değerleri bulunur.
  3. İterasyona |Eb| < E (Tolerans değeri) oluncaya kadar devam edilir.
  4. Tolerans değeri sağlanıyorsa aranan kök değeri xk+1 dir.

Genel olarak bu yöntem hızlı sonuç verir. Fakat bu yönteminde yetersiz kaldığı veya sonuç veremediği bazı durumlar vardır. Ve bu yaptığımız sıralamada ikinci adımda bahsedilen başlangıç değeri bize verilen bir değerdir. Onun dışında da takılacağınız bir yer olduğunu düşünmüyorum. Yine de buraya kadar aklında soru işareti kalan var ise matlab örneğimizde tamamen anlayacağını düşünüyorum. Bu yüzden hadi örneğimize geçelim.


Newton Raphson Yöntemi MATLAB Örneği

Örneğimizdeki denklem f(x)=sqrt(2x)+In(x)-2*sin(x/2) şeklindedir. Başlangıç noktası olarak 1.3 verilen bu denklemi Newton Raphson Yöntemi yardımıyla çözelim. (Tolerans değeri = 1.0E-6)

İşlemlerimiz kısa olduğu için yine kod ve çıktıyı tek bir resimde paylaşacağım. Şimdi gelin kodumuzu satır satır inceleyelim.

Newton Raphson Yöntemi MATLAB Örneği
Newton Raphson Yöntemi MATLAB Örneği

İlk beş satırımızda her zaman yaptığımız işlemleri yaptık. İlk satırda hafıza ve ekranı temizledik. Ardından yapacağımız işlemi command windowda yazdırdık. Sonrasında bize verilen başlangıç ve tolerans değerini tanımladık. Beşinci satırda ise döngümüzde yazdıracağımız ifadelere başlık olması açısından bir print fonksiyonu kullandık.

Ardından altıncı satırda 1’den 100’e kadar bir for döngüsü başlattık. Bundan sonraki kısımda Newton Raphson Yöntemine özgü olan ifadeleri hesaplayacağız. Formülde ihtiyacımız olan öncelikle bir f(x) değeri ardından bunun türevinin ( f'(x) ) değeri gerekiyor. Yedinci satırda fx0 = diyerek bize verilen denklemi x yerlerine x0 gelecek şekilde birebir yazıyoruz. Sekizinci satırda ise bize verilen denklemin türevini alıyoruz. Ve x yerlerine x0 gelecek şekilde yazıyoruz. Bu iki değeri bulduktan sonra Newton Raphson yöntemindeki genel formülümüzü kullanarak x1 değerini hesaplamamız için bir engel kalmadı. Dokuzuncu satırda x1 değerini hesaplıyoruz. Onuncu satırda ise döngü içerisinde bulduğumuz değerleri yazdırıyoruz.

Son olarak kontrol işlemlerimizi yaparak döngümüzü bitiriyoruz. Eğer mutlak hatamız tolerans değerinden küçükse döngümüzü bitiriyoruz. Eğer küçük değilse bulduğumuz yeni x1 değerini, x0 değerinin yerine eşitliyoruz. Son olarak disp fonksiyonunu kullanarak command windowda yaklaşık kök değerimizi yazdırıyoruz.

Bir yöntemimizin daha sonuna geldik. Açık yöntemlerde son olarak Secant (Kiriş) Yöntemini inceleyeceğiz. Eğer bu konu hakkında sorunuz varsa bana ulaşabilirsiniz. Bir sonraki yazıda görüşünceye dek herkese sağlıklı günler dilerim! ☀✿

One thought on “Newton Raphson Yöntemi

Yorumlar kapatıldı.