Hata Hesaplanması ve Tolerans Değeri

Herkese Merhaba! Bugün sayısal analizde hata hesaplanması ve tolerans değeri konularını ele alacağız. Bundan önce Sayısal analizde kapalı yöntemlerden ikiye bölme (bisection) yönteminde hata hesaplanması ve tolerans değeri kavramlarını kullanmıştık. Fakat ne işe yarıyor ve bunlara neden ihtiyaç duyuyoruz? Bugün bunlar hakkında konuşalım.


Tolerans Değeri

Öncelikle biliyoruz ki sayısal analiz bize her zaman tam sonuç vermeyebilir. Bundan dolayı da kullandığımız yöntem ne olursa olsun; yöntemdeki bulacağımız kök değeri için belirli bir yakınlığı da doğru sonuçmuş gibi kabul etmeliyiz. Örneğin bizim uğraştığımız proje makine sinyalini işleme üzerine olsun. Ve burada bizden tam olarak istenilen değeri bulmamız beklenmemektedir. Çünkü bu ulaşılabilen bir değer olsa zaten öncesinde bulunurdu. Bize o işle ilgilenen kişilerin mühendislerin, matematikçilerin vereceği bir değer onlar için kabul edilecek bir değerdir. İşte buradaki değer Tolerans Değeri olarak geçmektedir. Yani bu tolerans değeri bizim bulduğumuz bir sayı değildir. İşlere veya hesaplamalara göre değişkenlik gösteren bir değerdir. Peki bu tolerans değerini biz nasıl kullanabiliriz? Tabii ki de hata hesaplanması ile kullanabiliriz.


Hata Hesaplanması

Hata kavramı karşımıza yaptığımız işte çıkmaktadır. Örneğin bir iş üzerinde çalıştığımızı varsayalım. Bu işte deney ve uygulamalarda hata yaptığımızı varsayalım. Bu hata üçe ayrılan başlık altında ölçme hatasına girmektedir. Gelin şimdi bu üç başlığı inceleyelim.

Fiziksel olayların matematiksel olarak çözümlenmesinde yapılan hatalar üçe ayrılmaktadır. Bunlar;

  • Modelleme Hatası
  • Ölçme Hatası
  • Sayısal Hatalar

Modelleme Hatası: Bir olayın matematiksel ve fiziksel olarak modellenmesinde yapılan varsayımlardan kaynaklanan hatalardır.

Ölçme Hatası: Yapılan deney ve uygulamalarda ölçümlerden kaynaklanan hatalardır.

Sayısal Hatalar: Sayısal hatalar matematiksel işlemlerin ve değerlerin yaklaşık kullanımlarından ortaya çıkan farklardır. Aynı zamanda modelin bizzat çözümlenmesinde de yapılan hatalar olarak karşımıza çıkmaktadır. En çok üzerinde duracağımız hata çeşidi bu sayısal hatalar olacaktır. Demiştik ki sayısal analiz bize tam cevabı vermeyebilir. Sayısal analiz için doğruluk kavramı ölçme veya hesaplama sonuçlarının gerçek değere yakınlığı ile ölçülür. Çoğu zaman kesin sonuç bilinmediği için en doğru cevap bizim için en iyi tahmin edilen değer olarak kabul edilmektedir.

Bilgisayarlar sonlu sayıda rakamı saklayabildikleri için hesaplamalar tam olarak değil, yaklaştırmalar kullanarak yapılmaktadır. Unutmamalıyız ki hesaplamalarda ne kadar hata olduğu veya ne kadarlık bir hatanın kabul edilebilir olduğu sayısal analiz hesaplamalarında çok önemlidir.

Şimdi gelin bu sayısal hataların hesaplanmasına bakalım.


Sayısal Hata Hesaplamaları

Mutlak Hata (Absolute Error): Gerçek değer (A) ile hesaplama sonucu bulunan yaklaşık değer (a) arasındaki mutlak farka denir. |A-a| şeklinde hesaplanmaktadır.

Bağıl Hata ( Relative Error): Hatanın mutlak olarak değil gerçek değere göre büyüklüğünün bilinmesidir. Kısaca mutlak hatanın gerçek değere (A) bölünmesiyle bağıl hata hesaplanmaktadır. |A – a|/|A| şeklinde hesaplanmaktadır.

Yaklaşık Bağıl Hata: En iyi tahmin değeri ile yaklaşık değer arasındaki mutlak farkın en iyi tahmin değerine bölünmesiyle hesaplanmaktadır. Formülü şu şekildedir: |En iyi tahmin – Yaklaşık Değer| / |En iyi tahmin|

Kesme Hatası (Truncation Error): Sonsuz terimli gösterimlerde (Örneğin Taylor serisi) gösterimin belirli bir sayıda veya basamakta terimin kullanılması ile yapılan hata türüdür. Yani Terimlerin sonlu sayıda kalması amaçlanmaktadır.

Yuvarlama Hatası (Rounding Error): Gereken hane sayısından daha az hane sayısında kesilen hata türüdür. Hesaplamalarda kolaylık sağlamak adına veya bilgisayar tarafından daha fazlası hesaplanamadığı için ortaya çıkan bir hata türüdür. Özellikle devirli sayılar dediğimiz ve hangi basamaktan kesersek keselim bir hata ile aldığımız sayılarda ortaya çıkar.

Tüm hata çeşitlerimiz bu kadar şimdi gelin kesme ve yuvarlama hatası ile ilgili örnek yapalım ki bu hataların hesaplamalardaki etkisini görelim.


Kesme ve Yuvarlama Hatası Örnekleri

Örneğin kesme hatası uygulanan bir işlem düşünelim;

• 7.59 sayısını 7.5 olarak hesaplayalım. Bu durumda hatamız = 0.09 olacaktır.

• 7.54 sayısını 7.5 olarak hesaplayalım. Bu sefer ise hatamız = 0.04 olacaktır.

Gördüğünüz üzere kesme hatasını uygulayacağımız sayıya göre üzerindeki etkisi oldukça değişkenlik gösterebilmektedir. Bu durumu bir de yuvarlatma hatası için ele alacak olursak;

• 7.59 sayısını 7.6 olarak alacaktır. Bu durumda hatamız = 0.01 olacaktır.

• 7.54 sayısını 7.5 olarak alacaktır. Bu sefer ise hatamız = 0.04 olacaktır.

Kesme hatasında 7.59 sayısında aldığımız hata boyutu daha yüksekken bu durum yuvarlama hatasında tam tersine dönüştü. Gördüğünüz gibi hangi hatanın hangi sayı üzerinde olduğu da oldukça etkili. Bu çok ufak gözüken sayılar biz mühendislerin işini oldukça zorlaştırmaktadır. Çünkü bu ufak görünen sayılar bazen insanların hayatları üzerinde belirleyici rol üstlenebilir. Bununla ilgili Körfez Savaşı esnasında (25.02.1991) kesme hatası sebebiyle patriot füzesi scud füzesini algılayamadı. Bunu araştırmanızı tavsiye ederim 🙂

Son olarak toparlayacak olursak bize verilen tolerans değerini kullanarak hata hesaplaması yapabiliriz. Ve tolerans değerine yakınlığına göre en doğru yani tolerans değerine en yakın kökü bulabiliriz.


Bugünkü konumuz buraya kadar. Umarım anlaşılmıştır. Takıldığınız bir kısım olursa bana ulaşabilirsiniz. Sayısal analiz ile ilgili diğer yazılarıma da buradan ulaşabilirsiniz. Bir sonraki yazıda görüşmek üzere herkese sağlıklı günler dilerim. ❀❁

One thought on “Hata Hesaplanması ve Tolerans Değeri

Yorumlar kapatıldı.